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Quadratwurzel

Unter der Quadratwurzel einer nicht-negativen Zahl x aus dem Körper der reellen Zahlen versteht man in der Mathematik diejenige postive Zahl r, deren Quadrat r2=r*r gleich x ist. Sie ist also ein Spezialfall der allgemeinen Wurzelfunktion. Sie wird dargestellt durch das Wurzelsymbol oder lässt sich als Potenz schreiben:

Das Symbol für die Quadratwurzel wurde zum erstenmal während des 16. Jahrhunderts benutzt. Es wird vermutet, dass das Zeichen eine modifizierte Form des kleinen r ist, das als Abkürzung für das latainische Wort "radix" (Wurzel) steht.

Im englischen wird die Quadratwurzel als "square root" bezeichnet, weshalb in vielen Programmiersprachen die Bezeichnung "sqrt" (oder "sqr") für die Wurzelfunktion verwendet wird.

Wurzeln reeller Zahlen

Nach obiger Definition ist die Quadratwurzel eine Funktion, die die Menge der nicht-negativen reellen Zahlen auf eine ebensolche Menge bijektiv abbildet. Man beachte, dass das Weglassen des Zusatzes "diejenige positve Zahl" in den Fällen zu keiner Funktion führen würde, da beispielsweise (-3)2 = 9 = 32 und damit die Wurzel aus 9 nicht eindeutig definiert wäre.

Der unter dem Wurzelzeichen stehende Term wird als Radikand bezeichnet.

Eine über dem Wurzelzeichen stehende ganze Zahl gibt höhere Wurzeln an, z.B. eine 5 die fünfte Wurzel aus x. Fehlt sie, wird eine 2 angenommen. Auch hierfür kann eine iterative Näherungslösung (s.u.) angegeben werden.

Die Taylor-Reihen Entwicklung von kann mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes gefunden werden. Die Entwicklung konvergiert für |x| < 1 punktweise gegen den Funktionswert der Wurzelfunktion.

Wurzeln komplexer Zahlen

Die Quadratwurzel aus einer komplexen Zahl z ist zweideutig, weil es sich um die zweite Wurzel handelt:
Der Betrag der Wurzel ist die Wurzel aus dem Betrag. Das Argument, das ist der Winkel in der komplexen Zahlenebene (sein Tangens ist das Verhältnis von Imaginär- zu Realteil) wird durchs Quadratwurzelziehen halbiert und durch eine um 180° gegenüberliegende zweite Lösung ergänzt.

Siehe auch: Schriftliches Wurzelziehen, Babylonisches Wurzelziehen, Machtindex, Euklids Beweis für Irrationalität von Wurzel 2


Der Ursprungsartikel stammt von der deutschsprachigen Wiki pedia (siehe oben: "Original Artikel & Autoren Liste").
Der Text steht unter der GNU Freie Dokumentation Lizenz.