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Maxwell-Boltzmann-Verteilung

In einem idealen Gas bewegen sich nicht alle Gasteilchen mit der gleichen Geschwindigkeit, sondern statistisch verteilt mit verschiedenen Geschwindigkeiten (siehe Kinetische Gastheorie).

Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung (nach James Clerk Maxwell und Ludwig Boltzmann; teilweise auch maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung genannt) gibt dabei an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass sich ein Gasteilchen mit einer bestimmten Geschwindigkeit bewegt.

Die Verteilung ist gegeben durch

,

wobei v die Teilchengeschwindigkeit, m die Teilchenmasse, k die Boltzmann-Konstante und T die Temperatur des Gases ist. Die Wahrscheinlichkeit w, dass ein Gasteilchen eine Geschwindigkeit zwischen v1 und v2 besitzt, errechnet sich damit aus

.

Die folgenden beiden Abbildungen verdeutlichen die Abhängigkeit der Maxwell-Boltzmann-Verteilung von der Masse und der Temperatur der Teilchen.





Mit steigender Temperatur T nimmt die durchschnittliche Geschwindigkeit zu und die Verteilung wird gleichzeitig breiter. Mit steigender Teilchenmasse m hingegen nimmt die durchschnittliche Geschwindigkeit ab und die Geschwindigkeitsverteilung wird gleichzeit schmaler (Hinweis: m(H2)= 2 u; m(N2)= 14 u; m(Cl2)= 71 u)

Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit vw, also die Geschwindigkeit am Maximum der Verteilungsfunktion berechnet sich aus




und die durchschnittliche Geschwindigkeit vd aus


.




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