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Lineare Unabhängigkeit

In der linearen Algebra nennt man eine Menge S von Vektoren eines Vektorraums linear unabhängig, wenn kein Element von S als Linearkombination endlich vieler anderer Elemente von S darstellbar ist.

Zum Beispiel sind im dreidimensionalen Euklidischen Raum R3 die Vektoren (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, 1) linear unabhängig, während (2, -1, 1), (1, 0, 1) und (3, -1, 2) nicht linear unabhängig sind (denn der dritte Vektor ist die Summe der ersten beiden). Vektoren, die nicht linear unabhängig sind, nennt man linear abhängig.

Inhalt
1 Definition
2 Beispiele
3 Verallgemeinerung

Definition

Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Seien v1, v2, .., vn Elemente von V. Man sagt, diese Vektoren sind linear abhängig über K, falls Koeffizienten a1, a2, .., an aus K existieren, die nicht alle gleich 0 sind, so dass:

oder kürzer:

(Beachte, dass die Null auf der rechten Seite das Nullelement des Vektorraums V ist, nicht die Null von K.)

Wenn solche Koeffizienten nicht existieren, dann nennt man die Vektoren v1, v2, ..., vn linear unabhängig.

Eine unendliche Menge S von Vektoren heißt linear unabhängig, falls jede endliche Teilmenge von S linear unabhängig ist.

Gleichbedeutend, aber direkt auf lineare Unabhängigkeit bezogen, ist die folgende Definition. Die Vektoren v1, v2, ..., vn sind linear unabhängig, falls gilt:

Sind a1, a2, ..., an Elemente von \K, so dass:
a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0,
dann ist ai = 0 für alle i=1,2,...,n.

Das Konzept der linearen Unabhängigkeit ist wichtig, weil eine linear unabhängige Menge von Vektoren, die einen Vektorraum aufspannt, eine Basis dieses Vektorraums ist, durch die sich jedes Element des Raums eindeutig darstellen lässt.

Beispiele

Sind z.B. aus dem englischen Artikel zu übernehmen.

Verallgemeinerung

Der Begriff der linearen Unabhängigkeit lässt sich weiter zu einer Betrachtung von unabhängigen Mengen verallgemeinern, s. Matroid.
Der Ursprungsartikel stammt von der deutschsprachigen Wiki pedia (siehe oben: "Original Artikel & Autoren Liste").
Der Text steht unter der GNU Freie Dokumentation Lizenz.



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