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Jede n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit, die das 2. Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, besitzt eine abgeschlossene Einbettung in .
Eine Einbettung einer Mannigfaltigkeit M in eine andere N ist eine injektive Abbildung f: M -> N,
deren Differential df ebenfalls injektiv ist. Anschaulich gesprochen ergibt eine Einbettung in den
euklidischen Raum eine Fläche, die sich nirgends durchdringt oder berührt.
Ein weiteres Beispiel ist die Kleinsche Flasche. Dies ist eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit, die man zum Beispiel
nicht in dem dreidimensionalen Raum einbetten, aber sehr wohl in den vierdimensionalen .
Dies zeigt auch dass die Dimension 2n + 1 nicht immer die kleinste Dimension ist, in den man eine Mannigfaltikeit einbetten kann,
manchmal funktionert auch eine niedrigere Dimension. Aber das Resultat von Whitney ist scharf in dem Sinn, dass es ein n-dimensionale Mannigfaltikeit gibt, die in den 2 n+ 1 dimensionalen Raum aber nicht in den 2 n dimensionalen Raum eingebettet werden kann.Erläuterungen
Die Kernaussage dieses Satzes ist also, dass es eigentlich nur Mannigfaltikeiten im Euklidischen Raum gibt.
Die Bedingung, dass das 2. Abzählbarkeitsaxoim erfüllt sein muss ist eine schwache Vorraussetzung , die
fast immer gilt.Beispiel
Eine eindimensionale Mannigfaltigkeit ist eine Kurve. Nach dem Satz von Whitney gibt es also
ein Einbettung in den . So eine Einbettung kann man aufzeichnen, indem man die Kurve in einem
3-dimensionalen Raum mit x-y-z Koordinatensystem zeichnet. Wichtig dabei ist, dass sich die Kurve sich niemals kreuzt, denn nur dann hat man eine Einbettung.
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