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Divisionsalgebra

Divisionsalgebra ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet Abstrakte Algebra. Grob gesprochen handelt es sich bei einer Divisionsalgebra um einen Vektorraum, in dem man Elemente multiplizieren und dividieren kann.

Definition und Beispiele

Eine Divisionsalgebra ist eine Algebra (Vektorraum), in der zu jedem und zu jedem genau ein mit der Eigenschaft existiert. (Dabei bezeichnet "·" die Vektormultiplikation in der Algebra.) Man fordert noch zur Vermeidung einer Trivialität, dass mindestens zwei Elemente enthält.

Insbesondere ist D nullteilerfrei.

Eine Divisionsalgebra über den reellen Zahlen hat stets die Dimension 1, 2, 4 oder 8. Das wurde 1958 von Milnor und Kervaire bewiesen. Die reellen Divisionsalgebren sind (bis auf Isomorphie)

die reellen Zahlen selbst
die komplexen Zahlen
die Quaternionen
die Oktaven oder Cayley-Zahlen.

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